设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn=nan-2(n-1)n

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/15 10:24:11
设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn=n倍的an-2(n-1)n（n=1.2.3.....）
1.求证：数列{an}为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式。
2.求Tn=1/a1a2+1/a2a3+...+1/an-1+an
3.是否存在自然数n，使得S1+S2/2+S3/3+...+Sn/n=400？
若存在，求n的值；若不存在，说明理由。

①Sn=nan-2(n-1)n
S(n+1)=(n+1)a(n+1)-2n(n+1)
a(n+1)=(n+1)a(n+1)-nan-2n(n+1)+2(n-1)n
na(n+1)-nan-4n=0
a(n+1)-an=4
所以an是等比数列，公差d=4
an=4n-3
Sn=2n^2-n
②设数列bn=1/an×a(n+1)
bn=1/(4n-3)(4n+1)=[1/(4n-7)-1/(4n-3)]×1/4
Tn=[1-1/5+1/5-1/9+...+1/(4n-7)-1/(4n-3)]×1/4
=1/4-1/4(4n-3)
③设cn=Sn/n=2n-1 c(n+1)-cn=2
即cn是等差数列
c1=1
Hn使cn得前n项和
Hn=n+2n(n-1)/2=n^2
Hn=400即n^2=400 得n=20
即存在n=20使得S1+S2/2+S3/3+...+Sn/n=400。